ABACUS角动量算符矩阵表示实现
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ABACUS角动量算符矩阵表示实现
ABACUS角动量算符矩阵表示实现
用户2490用户24904月20日修改
目标
实现
的计算，其中
是原子轨道，
和
是缩合索引（
，
），包括原子种类
，原子种类内原子编号
，角动量
，磁量子数
和价层分裂数
。
和
标记两个元胞，即
为两相距
的原子，其两轨道之间的矩阵元。
推导
全局角动量算符的分解
最一般地，角动量算符的定义为：
，
但其中位置算符
和动量算符
都直接或者间接依赖于位置，这给
带来了位置依赖性，也无法直接在周期性体系中定义。一种处理方式是利用Wannier函数考虑其电极化，另一种方法是利用ASA（Atom Spherical Approximation, https://arxiv.org/pdf/2405.04239）将角动量算符直接分解为各原子角动量算符的加和，使得“i原子的角动量算符对j原子的轨道无作用”。考虑到目前的应用场景主要面向SOC，因此后一种带来的误差是较小的。在角动量算符进行右作用（作用于右矢）之后，得到新的右矢，和左矢进行双中心积分，得到最终结果。
符号约定
由于ABACUS使用实球谐函数
，其定义为
，其中
为（复数）球谐函数
的复共轭，和
有关系：
。另一方面，我们使用升降算符（ladder operator）来计算
和
：
，其中阶梯算符
作用在
上会得到
，
。我们将
进行更加general的符号定义，即：
，其中
为
。尝试作用在
上，
。尝试作用在
上，
结果将在后续推导中高频率使用。
LxSlm
我们直接将
作用在
上，得到
。
对于
的情况，
：
对于
的情况：
对于
的情况，我们仍然将
写成
：
综上，
接下来我们需要讨论如何将结果返回到实球谐函数的问题。对于任意球谐函数
，其中
，则其实部的根号2倍可以转化为
，其虚部的根号2倍可以转化为
。
因此分类讨论
的取值：